Propus aos meus alunos: -Neste envelope está um número de cinco algarismos. Cada um de vocês vai dar um palpite sobre esse número. Tenho um belo prémio a quem acertar em mais algarismos na posição correcta. Eis as respostas deles:
Só que houve um empate completo: todos indicaram exactamente um algarismo na posição correcta. Com tudo isto conseguem descobrir qual era o número? (Baseado num problema de Ira Hauptman) in Público de 2 de Dezembro de 2007.
PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:
Uma das coisas que me saltou logo à vista na lista de apostas dos alunos foi o facto do elemento das unidades de todos os palpites ser diferente. Uma vez que temos 10 apostas para cinco números e cada aluno acertou em uma posição isso quer dizer que haverá apostadores (vários) acertadores da mesma posição. No caso da posição das unidades e dado que os algarismos são todos diferentes (1, 2, 3, ..., 0), só um aluno acertou.
Temos portanto um aluno que acertou no secreto número das unidades. Os outros 9 pupilos acertaram em números das outras quatro colunas. Não sabemos ainda quem terá acertado nas unidades.
Quantos alunos terão acertado na posição das dezenas? E das centenas? E dos milhares? E das dezenas de milhar?
Na figura de cima podem-se observar a ocorrência dos números em cada uma das colunas sendo que a coluna 1 representa a posição das dezenas de milhar e o 5 representa a posição das unidades. Com esta distribuição de ocorrências podemos ter duas situações possíveis: 3 alunos acertaram na coluna 1, 3 na coluna 2 e nas restantes colunas houve 1 acertante e 2 acertantes ou então 3 alunos acertaram na coluna 1 e nas restantes colunas houve 2 pupilos acertadores. Não poderíamos ter, por exemplo 3 alunos que acertaram na posição 1 e outros 3 que acertaram na posição 2 e outros 3 que acertaram na posição 3 ou 4 simplesmente por que nas posições 3 e 4 não existem números com mais de 2 ocorrências.
Na realidade tivemos 3 alunos que acertaram nos algarismos na mesma coluna e os outros seis acertaram 2 a 2 nas restantes colunas excluindo a coluna 5 que como vimos em cima, só tem um acertador. Só poderemos ter numa das colunas a ocorrência 3 por que os candidatos a esse lugar, o 2 na coluna 1 e o 9 na coluna 2 aparecem em primeiro e segundo lugares no palpite do André e do Manuel, logo se os dois fossem solução os o André e o Manuel teriam acertado em dois algarismos o que não se passou.
Vou então pegar na primeira imagem que vos mostrei, a listagem dos palpites dos alunos e vou seleccionar os candidatos possíveis a ocupar essas posições. Assinalarei todos os números com ocorrência 3 das colunas 1 e 2 e todos os números com 2 ocorrências nas colunas 1 até 4 já que na coluna 5 todos são ainda possíveis.
Nas linhas da Sheila e do Gustavo apenas existe um candidato logo vamos assumir o 4 como o algarismo que ocupa a posição das centenas no número secreto. Nessa mesma coluna podemos desprezar o 1 pois já não é candidato. A Telma e a Beatriz acertaram assim no algarismo das dezenas e da mesma maneira descartamos o 8 como candidato a ocupar a posição 4 ficando a Patrícia e o Simão com o número dos milhares igual ao número dos milhares do número secreto. Com isso sabemos que na posição das dezenas de milhar está o 2 e nas unidades sobrou o 4. O número é então o 25474.
Engraçado na matemática não é ver a solução mas sim chegar até ela. Tentar chegar até ela. Esta foi a minha proposta de resolução do problema.
Temos portanto um aluno que acertou no secreto número das unidades. Os outros 9 pupilos acertaram em números das outras quatro colunas. Não sabemos ainda quem terá acertado nas unidades.
Quantos alunos terão acertado na posição das dezenas? E das centenas? E dos milhares? E das dezenas de milhar?
Na figura de cima podem-se observar a ocorrência dos números em cada uma das colunas sendo que a coluna 1 representa a posição das dezenas de milhar e o 5 representa a posição das unidades. Com esta distribuição de ocorrências podemos ter duas situações possíveis: 3 alunos acertaram na coluna 1, 3 na coluna 2 e nas restantes colunas houve 1 acertante e 2 acertantes ou então 3 alunos acertaram na coluna 1 e nas restantes colunas houve 2 pupilos acertadores. Não poderíamos ter, por exemplo 3 alunos que acertaram na posição 1 e outros 3 que acertaram na posição 2 e outros 3 que acertaram na posição 3 ou 4 simplesmente por que nas posições 3 e 4 não existem números com mais de 2 ocorrências.Na realidade tivemos 3 alunos que acertaram nos algarismos na mesma coluna e os outros seis acertaram 2 a 2 nas restantes colunas excluindo a coluna 5 que como vimos em cima, só tem um acertador. Só poderemos ter numa das colunas a ocorrência 3 por que os candidatos a esse lugar, o 2 na coluna 1 e o 9 na coluna 2 aparecem em primeiro e segundo lugares no palpite do André e do Manuel, logo se os dois fossem solução os o André e o Manuel teriam acertado em dois algarismos o que não se passou.
Vou então pegar na primeira imagem que vos mostrei, a listagem dos palpites dos alunos e vou seleccionar os candidatos possíveis a ocupar essas posições. Assinalarei todos os números com ocorrência 3 das colunas 1 e 2 e todos os números com 2 ocorrências nas colunas 1 até 4 já que na coluna 5 todos são ainda possíveis.
Nas linhas da Sheila e do Gustavo apenas existe um candidato logo vamos assumir o 4 como o algarismo que ocupa a posição das centenas no número secreto. Nessa mesma coluna podemos desprezar o 1 pois já não é candidato. A Telma e a Beatriz acertaram assim no algarismo das dezenas e da mesma maneira descartamos o 8 como candidato a ocupar a posição 4 ficando a Patrícia e o Simão com o número dos milhares igual ao número dos milhares do número secreto. Com isso sabemos que na posição das dezenas de milhar está o 2 e nas unidades sobrou o 4. O número é então o 25474.Engraçado na matemática não é ver a solução mas sim chegar até ela. Tentar chegar até ela. Esta foi a minha proposta de resolução do problema.
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